(強)定常過程 確率分布が時間や位置によって変化しない(wikipedia)or時間や区間によって変化しない(このテキスト)。 (弱)定常過程 平均と分散が時間によらない。相関関数が時間差 のみに依存する。 エルゴード性 集団平均と時間平均が一致すること。定常性 定常性の性質 定常性とは何を意味するのでしょうか。 時間によらず期待値、自己共分散が一定であるような時系列データの性質を定常性といいます。 また、定常性を持つ確率過程のことを定常過程と呼びます。 文章の説明だけでは頭に入りづらいので、以下の式を見ながら定常性確率過程論 小倉 久直 京大名誉教授 工博 著 従来の教科書ではあまり述べられなかった確率過程の表現理論を詳しく解説し，通常理工科系の応用数学の知識の範囲で理解できるよう配慮してある。 ジャンル 数学 確率・統計 確率過程 発行年月日
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弱定常過程 強定常過程
弱定常過程 強定常過程-が成立するとき"弱従属定常過程",一方発散するとき,す なわち (5) が成立するとき"強従属定常過程"とそれぞれ定義するま た各定常過程に対するパラメトリック なモデルを "短期記憶モデル","長期記憶モ状態の分類強マルコフ性の確認停止時刻 状態 を出発して、次に状態 に初めて戻る時刻 が確率過程X0,X1,,X のみによって決まるとき、 𝑇 =min{ R1,X = } y→z→y→z→x→yという変化をしたとする これは①y→z→y ②y→z→x→yという
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定常性は、不変性の定義域によって、弱定常性（weak stationarity）と強定常性（strict stationarity）の 2 種類ある。 弱定常性 時間が変化しても、データを生成する確率過程の期待値と自己共分散が一定である性質を弱定常性という。大数の法則（たいすうのほうそく、英 Law of Large Numbers, LLN 、仏 Loi des grands nombres ）とは、確率論・統計学における基本定理の一つ。 極限定理と呼ばれる定理の一種。 たとえばサイコロを振り、出た目を記録することを考える。 このような試行を莫大に繰り返せば、出た目の平均（標確率過程の定常性とは、その過程の同時分布や基本統計量の時間不変性に関するものです。 何を不変とするかによって、弱定常性 (weak stationarity)と強定常性(strict stationarity)に分類されます。
定義3（強定常解：Straumann 05Theorem 331, Bougerol and Picard 1992, p115）GARCH（p, q）過程（1），（2）は強定常解を持つ 確率ベクトルの列 が存在して，（i）（1）か定常過程の簡単な例としては，γ(h)=0(h =0)となるようなホワイト・ノイズがある．ホ ワイト・ノイズは，分散が一定の無相関過程であり，名称の由来については，次節で述べるこ とにする． 上述のように，定常過程では，時点s と時点t の共分散Cov(y s,y定常過程（ていじょうかてい、英 stationary process ）とは、時間や位置によって確率分布が変化しない確率過程を指す。 このため、平均や分散も（もしあれば）時間や位置によって変化しない。 例えば、ホワイトノイズは定常的である。 しかし、シンバルを鳴らしたときの音は定常的ではなく
定常過程とは？ ・ 時間依存せず平均μ（期待値と表現されることもある）が一定 ・ 時間依存せず分散σ^2が一定 ・ 共分散は時間差のみに依存 非定常過程とは？ ・ 定常過程の条件を満たさない場合、全て非定常過程となる定常過程には弱定常過程と強定常過程があるが、arimaモデルを扱う際は弱定常過程を考慮する 弱定常過程は、簡単に言うと以下の二つを満たす (期待値は時点によらず一定) 自己共分散は時点によらず一定;X t 1, X t 2, , X t n, の同時分布が X t 1 s, X t 2 s, , X t n s, の同時分布に等しいとき， {X t} は強定常であるという． ある確率過程が強定常ならば，弱定常でもある． 単に「定常性」を言えば，弱定常を指すことが多い．
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同時分布が不変であることを意味している．当然，弱定常性より強い．が正規 過程，ie, 任意のt,k で上の同時分布が多変量正規分布となるような過程であれば，弱定常 性と強定常正は同値となる． 普通は弱定常性で十分！過程で特性方程式の解の絶対値が1（単位根）を含む場合には、 定常過程ではなく、ランダムウォークになる。単位根を持つ二つの 過程 X(t) とY(t) があるとき、X(t) からY(t) への回帰を行なうと、 本来は存在しない回帰関係が存在するように見えてしまう信号処理論第二 第5 回 (11/8) 情報理工学系研究科システム情報学専攻 亀岡弘和 kameoka@hiltutokyoacjp
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1 確率過程 ここでは確率過程，定常過程，逆過程，可逆性の定義を示す． 定義11 （確率過程）T をパラメータ空間とし，t ∈Tに対して確率変数Xt が定義されているとする．この時， 確率変数の族{Xt,t∈T}を確率過程(stochastic process) という． • 通常，パラメータとしては時間を考える．時間が定常確率過程とMAモデル 時系列データを予測するために、簡単な確率モデルを考えます。 モデルを考える上では、確率過程を使います。 その中で、定常確率過程が大事です。 今回の記事では、定常な時系列モデルであるMAモデルを解説します。 参考ホワイトノイズ 3ARMA過程（1） MA過程 まとめ 1 定常性 確率過程においてその確率的な性質が変わらないという特徴を 定常性 という。 その定常性も強さに応じて2つに分類される： （1）強定常：確率分布が時点 t に依存せず変わらない、すなわち任意
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ヒンチン・伊藤の意味における弱定常過程を略式に定常過程とい うことがある ここでこの定常過程の概念を一般化して次の定義 を与える 定義 が弱定常であるとは任意の に対し が成り立つことをいう さらに が強定常であるとは任意の自然数 と 任意の に前回の記事で定義した定常過程の例を紹介します。 (今回も沖本本からの引用です。) iid系列 iid系列は、強定常過程の例です。 定義 各時点のデータが互いに独立でかつ同一の分布に従う系列はiid系列と呼ばれる。 iidとは、 independent and identically distributedの略です。に階差をとり定常過程になるものを階差定常（difference–stationary, difference–stationary process,DSP）という。1回の階差をとって定常にな る場合を1次で和分された（integratedoforder 1）といい、I1と表記する。d回の差分を取っ て定常になる場合をId変数という。
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が成立するとき，強定常過程（狭義定常過程）という．一方，2 次過程は，平均EX(t) = m が tによらず一定で，共分散R (t;s) = E(X)¡m)(s) がt¡s だけによって 定まるとき，弱定常過程（広義定常過程）といい，‰ (t) = R t;58 強定常過程の表現について 強 定 常過 程 の表 現 に つ いて 神戸大学 西 尾 真 喜 子 定常過程の表現には,こ れまでFourier解 析に よる方法が取られており,こ の表現を使っての見 本過程の連続性の研究1等,い ろいろの結果が出弱定常性(weak stationarity)＝広義定常性(WSSwide sense stationarity) = 共分散定常性 (covariance stationarity) 広義の意味での定常性（時間差のみに依存） 過程の期待値と自己共分散が時間を通じて一定 強定常性(strict stationarity)
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がt に依存しない時、弱定常と呼びます。すべてのモーメントが時間t に依存し ない場合、強定常と呼びます。それ以外の現象を非定常な現象と呼びます。本講 義では以降、定常な信号のみを取り扱ってきます。 4 定常過程のスペクトル解析強定常性 強定常性は、任意の と に対して、tex(y_t, y{t1}, \dots y{tk} )'の同時分布が同一となることを意味する。 強定常性は非常に強い仮定であり、一般的に定常性があるという場合は弱定常性であるという意味である ホワイトノイズ強定常 x (t) と x (t τ) が任意のτ に対して 同一の確率密度分布を有する 弱定常 平均が定数 自己相関関数が時間差のみの関数 定常過程 (stationary process)
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1 定常時系列 • 時系列データ=確率過程の実現値(見本過程) • 𝑋(𝑡,𝜔) 時間𝑡を止めれば確率変数、根源事象𝜔を固定すれ ば数列 • 時系列解析の目的：𝑋(𝑡,𝜔)の「道の分布」を知りたい • 大きな制約：時系列解析では殆どの場合𝜔のドローは一回定常過程ていじょうかてい 時間の経過に伴って変動するが、定常状態にあるような偶然現象のモデルである。 数学的にいえば 確率過程 の一種であって、「定常」には強い意味と弱い意味の二通りある。 確率過程｛X t ｝において、任意の t 1 、t 2弱定常過程でかつ正規過程（ガウス過程）であったら（強）定常過程である理屈のメモ：（強）定常過程の定義（Wikipedia より） 確率過程 が時刻 にとる値の同時分布の累積確率分布 が任意の 、 に対して次式を満たすならば は（強）定常過程である。 弱定常過程の定義（Wikipedia より）
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